数学八上角平分线的所有性质（八年级上册数学12.3角的平分线的性质）

数学八上角平分线的所有性质，原文标题：初中数学八年级12.3角的平分线的性质。

教学目标

掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题。

教学重点

角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题。

教学难点

灵活运用角的平分线的性质和判定解题。

复 习

1、角平分线的概念：

一条射线把一个角分成两个相等的角这条射线叫做这个角的平分线。（如下图OC）

角平分线的概念

2、点到直线距离:

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。（如下图OP）

点到直线的距离概念

一、探索角平分线画法：

画角平分线

画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．

２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．

３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．

已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。

证明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴ △OMC≌ △ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB

二、探索：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE。

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）

在△PDO和△PEO中

∠ PDO= ∠ PEO

∠ AOC= ∠ BOC

OP=OP

∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）

∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）

角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

用符号语言表示为：

∵OP 是∠AOB的平分线 又PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE

定理应用所具备的条件：

角的平分线；

点在该平分线上；

垂直距离。

定理的作用：证明线段相等

三、探索：到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．

证明: 经过点P作射线OC.

∵ PD⊥OA，PE⊥OB

∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°

在Rt△PDO和Rt△PEO中

PO＝POPD=PE

∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）

∴ ∠ POD＝∠POE

∴点P在∠AOB的平分线上

角平分线性质的逆定理：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用数学语言表示为：

∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．

∴OP平分∠AOB．

四、证明几何命题的一般步骤：

1、明确命题的已知和求证。

2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证。

3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

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