正方形aefd与三角形abe的面积之比为6:5（长方形abcd的面积为20s△adf=5求三角aef）

正方形aefd与三角形abe的面积之比为6:5，原文标题：已知AE=5，BE=2，CE=4，求正方形ABCD的面积。

如图，已知AE=5，BE=2，CE=4，求正方形ABCD的面积。这道题怎么做呢？

我们要求正方形ABCD的面积，就需要知道正方形的边长或者对角线的长度。题目条件只告诉我们AE=5，BE=2，CE=4，如何利用这些条件求出正方形的边长或者对角线的长度呢？

我们不妨假设正方形的边长为x，通过勾股定理去构造方程。

如图所示，延长AD、BC、DC，过点E作AD、BC、DC延长线的垂线。

接着过点B作BI⊥EF。

假设HE=a，EI=b。

三角形AGE、三角形BHE、三角形CEF都是直角三角形。

由勾股定理可得，

(a x)² b²=25……①，

a² b²=4……②，

(b x)² a²=16……③，

用①-②可得2ax=21-x²……④，

③-②可得2bx=12-x²……⑤，

④式两边平方可得4a²x²=(21-x²)²……⑥，

⑤式两边平方可得4b²x²=(12-x²)²……⑦，

⑥ ⑦可得4x²(a² b²)=(21-x²)² (12-x²)²，即16x²=(21-x²)² (12-x²)²，

接下来就是解方程的问题了，因为x²即正方形ABCD面积，不放假设x²=S，

16x²=(21-x²)² (12-x²)²即16S=(21-S)² (12-S)²，

16S=(21-S)² (12-S)²是一个一元二次方程，展开整理可得2S²-82S 585=0，

由公式法可得，S₁=(41 √511)/2，S₂=(41-√511)/2，

以上两个解都为正数解，

但是从图中可以看到x＜4，所以S＜16，

S₁=(41 √511)/2要舍去，

综上，正方形ABCD的面积为(41-√511)/2。

以上就是这道题的解法，除此之外你还有其他方法吗？可以在评论区留言。

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