染色问题的解题思路（计数原理染色问题的解题思路）

染色问题的解题思路，原文标题：从有点烧脑的染色问题说起，掌握分步分类计数原理很必要。

染色问题是数奥解题中的难点，小学奥数就接触过，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。

【问题提出】如图1，在四个相邻区域A，B，C，D中，给每一区域染色，每一个区域中染同一种颜色，但相邻的区域颜色不能相同，一共有4种颜色，如果颜色可以反复使用，请问有几种不同的染色方法？

【问题解决】可以这样计算：

染色共有三种方案

方案（一）用四种颜色即：A、B、C、D四个区域颜色各不相同

第一步给区域A染色时，有4种颜色可以选择；

第二步给区域B染色时，还剩3种颜色可以选择；

第三步给区域C染色时，还剩2种颜色可以选择；

第四步给区域D染色时，仅剩1种颜色选择．

*所以四个区域颜色都不相同时一共有：4×3×2×1＝24种染法；

方案（二）用三种颜色 即：A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其它区域各不相同

（1）仅有A，C区域颜色相同

第一步给区域A、C染色时，有4种颜色可以选择；

第二步给区域B染色时，还剩3种颜色可以选择；

第三步给区域D染色时，还剩2种颜色可以选择．

所以A、C区域颜色相同时一共有：4×3×2＝24种染法；

（2）仅有B、D区域颜色相同

第一步给区域B、D染色时，有4种颜色可以选择；

第二步给区域A染色时，还剩3种颜色可以选择；

第三步给区域C染色时，还剩2种颜色选择．

所以B、D区域颜色相同时一共有：4×3×2＝24种染法；

即A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其他区域各不相同时共有24 24＝48种染法．

方案（三）用两种颜色 即：A、C区域染色相同，B、D区域颜色相同

第一步给区域A、C染色时，有4种颜色可以选择；

第二步给区域B、D染色时，还剩3种颜色可以选择．

所以B、D区域颜色相同时一共有：4×3＝12种染法；

**综上所述：三种方案共有24 48 12＝84（种），所以共有84种不同的染色方法．

【问题拓展1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色染在”田”字形的四个小方格内（图2），每格染一种颜色，相邻的两格染不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的染色方法？

【问题解决1】可以这样计算：（写出分类、计算等必要的过程即可）

【问题拓展2】用m（m≥4）种颜色染在”田”字形的四个小方格内（图2），每格染一种颜色，相邻的两格染不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的染色方案？

【问题解决2】直接写出共有_____种不同方法（不需化简）

【问题拓展3】要用4种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省的地图染色（图3）每一省份用一种颜色，要求相邻的省份不同色，如果颜色可以反复使用，则不同的染色方法有____ 种．

【解答】【问题拓展1】

方案（一）用四种颜色即：A、B、C、D四个区域颜色各不相同

第一步给区域A染色时，有5种颜色可以选择；

第二步给区域B染色时，还剩4种颜色可以选择；

第三步给区域C染色时，还剩3种颜色可以选择；

第四步给区域D染色时，仅剩2种颜色选择．

所以四个区域颜色都不相同时一共有：5×4×3×2＝120种染法；

方案（二）用三种颜色 即：A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其它区域各不相同

（1）仅有A，C区域颜色相同

第一步给区域A、C染色时，有5种颜色可以选择；

第二步给区域B染色时，还剩4种颜色可以选择；

第三步给区域D染色时，还剩3种颜色可以选择．

所以A、C区域颜色相同时一共有：5×4×3＝60种染法；

（2）仅有B、D区域颜色相同

第一步给区域B、D染色时，有5种颜色可以选择；

第二步给区域A染色时，还剩4种颜色可以选择；

第三步给区域C染色时，还剩3种颜色选择．

所以B、D区域颜色相同时一共有：5×4×3＝60种染法；

即A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其他区域各不相同时共有60 60＝120种染法．

方案（三）用两种颜色 即：A、C区域染色相同，B、D区域颜色相同

第一步给区域A、C染色时，有5种颜色可以选择；

第二步给区域B、D染色时，还剩4种颜色可以选择．

所以B、D区域颜色相同时一共有：5×4＝20种染法；

综上所述：三种方案共有120 120 20＝260（种），所以共有260种不同的染色方法．

【问题拓展2】

染色共有三种方案

方案（一）用四种颜色即：A、B、C、D四个区域颜色各不相同

第一步给区域A染色时，有m种颜色可以选择；

第二步给区域B染色时，还剩（m﹣1）种颜色可以选择；

第三步给区域C染色时，还剩（m﹣2）种颜色可以选择；

第四步给区域D染色时，仅剩（m﹣3）种颜色选择．

所以四个区域颜色都不相同时一共有：m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）种染法；

方案（二）用三种颜色 即：A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其它区域各不相同

（1）仅有A，C区域颜色相同

第一步给区域A、C染色时，有m种颜色可以选择；

第二步给区域B染色时，还剩（m﹣1）种颜色可以选择；

第三步给区域D染色时，还剩（m﹣2）种颜色可以选择．

所以A、C区域颜色相同时一共有：m（m﹣1）（m﹣2）种染法；

（2）仅有B、D区域颜色相同

第一步给区域B、D染色时，有m种颜色可以选择；

第二步给区域A染色时，还剩（m﹣1）种颜色可以选择；

第三步给区域C染色时，还剩（m﹣2）种颜色选择．

所以B、D区域颜色相同时一共有：m（m﹣1）（m﹣2）种染法；

即A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其他区域各不相同时共有m（m﹣1）（m﹣2） m（m﹣1）（m﹣2）＝2m（m﹣1）（m﹣2）种染法．

方案（三）用两种颜色 即：A、C区域染色相同，B、D区域颜色相同

第一步给区域A、C染色时，有m种颜色可以选择；

第二步给区域B、D染色时，还剩（m﹣1）种颜色可以选择．

所以B、D区域颜色相同时一共有：m（m﹣1）种染法；

综上所述：三种方案共有m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3） 2m（m﹣1）（m﹣2） m（m﹣1）＝m（m﹣1）[（m²﹣5m 6） （2m﹣4） 1]＝m（m﹣1）（m²﹣3m 3）（种），

所以共有m（m﹣1）（m²﹣3m 3）种不同的染色方法．

故答案为：m（m﹣1）（m²﹣3m 3）；

【问题拓展3】

第一步，给四川染色时，有4种颜色可以选择；

第二步，给青海染色时，有3种颜色可以选择；

第三步，给西藏染色时，有2种颜色可以选择；

第四步，给云南染色时，有2种颜色可以选择；

所以，一共有4×3×2×2＝48种，

故答案为48．

上述问题的完成，我们最应该认识一下生活中我们经常用到两种统计原理：

（1）完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法，这就是分步计数原理．

（2）完成一件事共有两类方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m n种不同的方法，这是分类计数原理；

变式：

小试牛刀：完成下列填空：

（1）从5位同学中产生1名组长，1名副组长有 _____种不同的选法．

（2）如图，一条电路在从A处到B处接通时，可以有______ 条不同的路线．

（3）用数字0、1、2、3、4、5组成 ________个没有重复数字的六位奇数．

（4）一种汽车牌照由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，则不同牌照号码的个数是 __________．

【分析】（1）先得出产生1名组长有5种选法，再选1名副组长有4种选法，再由乘法原理求解即可，

（2）由图象可知，共有8种不同的路线，

（3）个位有3中选法，最高位有4中选法，共有4×4×3×2×1×3＝288，分别求出四位数的最高位及其余各位数的选法，利用乘法原理即可求出答案，

（4）先求出前面两个英文字母组合的种数，再求出后面从0到9有10个数任取两个的组合数，再由乘法原理求解即可．

【解答】（1）产生1名组长有5种选法，再选1名副组长有4种选法，

按乘法原理，所求选法为5×4＝20种；

（2）由图象可知共有8条不同的路线；

（3）∵当六位数为奇数时，个位数字为1，3，5有3种选法，由于数不重复，最高位不能为0，故最高位有5种选法，

根据乘法原理，故没有重复数字的六位奇数有3×4×2×3×4＝288个；

（4）∵有26个英文字母，∴前面两个英文字母共用26×25种组合，

∵从0到9有10个数，∴共有10×10×10×10＝10000种组合，

∴按乘法原理，所求个数为26×25×10×10×10×10＝6500000．

故答案为：20，8，288，6500000．

总之，染色问题也有路可循，分清了问题中的第一特殊区域，以及依次的各个区域问题就迎刃而解了。其中最关键的部分是找特殊区域，不要找错了.

本文《染色问题的解题思路（计数原理染色问题的解题思路）》由网赚联盟（ wangzhuan.org.cn ）整理或原创，感谢您的阅读。

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