阻尼谐振子方程（阻尼谐振子模型）

阻尼谐振子方程，原文标题：阻尼谐振子。

概要

本文主要给出了任意时变外力作用下阻尼谐振子问题的一般解。

物理学中被最广泛研究也是最基础的问题之一是谐振子。我们知道谐振子在经典和量子情形下特殊的相关性，同时也是我们可解析求解的少数问题之一。

有外力存在的阻尼谐振子的处理在文献中可以找到，它的形式处理，对于任何依赖于时间的外力，需要格林函数的形式。

具有时变外力的阻尼谐振子，其时间演化微分方程为

(1)

其中b为阻尼系数，k为力常数，m为谐振子质量，F(t)为外力。

谐振子的动力学通过在初始条件下求解方程(1)来确定，即初始位置和速度分别为 和 。

为了求解x(t)，定义常数2γ = b/m,

以及微分算子D = d/dt。

代入，将方程(1)简计为

(2)

然后

（3）

其中α和β是二次方程 的根，

(*)

接下来，利用等式

(4)

上式对任意复常数a和任意可微函数f(t)都有效，我们可以将(3)写为

(5)

现在我们再次使用(4)，方程(5)变为

(6)

对时间变量积分，带入初始条件

(7)

在这里，我们对上述等式左侧的第二项进行了一些简单的操作。

方程7我们得到

. (8)

再一次积分，得

(9)

对方程(9)的最后一项使用分部积分

(10)

以及

,

(11)

然后

(12)

将(12)代入(9)，再将（*）代入。得

进一步写为

（13）

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